Demonstrar o TLC;
Simular a Distribuição de Gumbel se aproximando da distribuição NOrmal.
Provar que a distribuição de Gumbel, pode ser convertida em uma distribuição Normal, confirmando o TLC.
A demonstração do Teorema do Limite Central (TLC) utilizando a distribuição de Gumbel pode ser feita numericamente por meio de simulações. A ideia principal é observar como a soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas provenientes de uma distribuição de Gumbel se aproxima de uma distribuição normal quando o número de somas aumenta.
A função característica de uma variável aleatória \(X\) é definida como: \[ \phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}], \] onde \(t \in \mathbb{R}\). Ela captura todas as propriedades da distribuição de \(X\).
Para a soma padronizada \(Z_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\), a função característica é: \[ \phi_{Z_n}(t) = \mathbb{E}\left[e^{itZ_n}\right] = \mathbb{E}\left[e^{it \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n Y_i}\right], \] onde \(Y_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}\). Como os \(Y_i\) são i.i.d., podemos fatorar: \[ \phi_{Z_n}(t) = \left(\phi_Y\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right)^n, \] onde \(\phi_Y(t)\) é a função característica de \(Y_i\).
Expandimos \(\phi_Y(t)\) em série de Taylor em torno de \(t = 0\): \[ \phi_Y(t) = \mathbb{E}[e^{itY}] = 1 + it\mathbb{E}[Y] - \frac{t^2}{2}\mathbb{E}[Y^2] + o(t^2). \]
Como \(Y_i\) é padronizada (\(\mathbb{E}[Y] = 0\), \(\mathbb{E}[Y^2] = 1\)): \[ \phi_Y(t) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2). \]
Substituímos na expressão para \(\phi_{Z_n}(t)\): \[ \phi_{Z_n}(t) = \left(1 - \frac{t^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n. \]
Usamos a aproximação: \[ \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \to e^x, \text{ quando } n \to \infty. \]
Assim: \[ \phi_{Z_n}(t) \to e^{-\frac{t^2}{2}}, \text{ quando } n \to \infty. \]
A função característica \(e^{-\frac{t^2}{2}}\) corresponde exatamente à função característica de uma variável normal padrão \(\mathcal{N}(0, 1)\). Logo: \[ Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, 1). \]
A função geradora de momentos (MGF) \(M_X(t)\) de uma variável \(X\) está relacionada à função característica: \[ M_X(t) = \phi_X(-it) = \mathbb{E}[e^{tX}]. \]
Para somas de variáveis i.i.d., a MGF também combina multiplicativamente. O mesmo raciocínio da expansão em Taylor e aproximação exponencial se aplica. A padronização assegura que a soma converge para a normalidade.
A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição de Gumbel é dada por: \[ f(x) = \frac{1}{\beta} e^{-\frac{x - \mu}{\beta}} e^{-e^{-\frac{x - \mu}{\beta}}}, \] onde:
Nesta demonstração, consideraremos os seguintes valores:
A partir da análise dos gráficos que mostraram os resultados da simulação do Teorema do Limite Central usando a distribuição de Gumbel foi possível observar que com o aumento de k, o histograma das somas padronizadas se aproxima da curva da distribuição normal padrão (linha vermelha). Isso ilustra o comportamento previsto pelo TLC, mesmo para distribuições assimétricas como a de Gumbel.
A combinação da função característica, a expansão de Taylor e a função geradora de momentos permite demonstrar o TLC. A chave está no comportamento assintótico da função característica das somas padronizadas, que converge para a função característica da normal padrão \(\mathcal{N}(0, 1)\).
Por meio dessa simulação, observamos que mesmo para uma distribuição assimétrica como a de Gumbel, a soma de variáveis aleatórias tende a uma distribuição normal conforme o número de variáveis aumenta, validando o Teorema do Limite Central.