O objetivo deste relátorio é descrever sobre o teste de hipótese homocedastidade, simular e apresentar os cálculos analÃticos de uma distribuição pelo metodo da quantidade pivotal e aplicar o intervalo de confiança.
Quando a variância populacional (\(\sigma^2\)) é desconhecida, o intervalo de confiança para a média é construÃdo usando a distribuição \(t\)-Student.
\[ IC = \left[ \bar{x} - t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \, \bar{x} + t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right] \]
Onde: - \(\bar{x}\): média amostral. - \(s\): desvio padrão amostral. - \(n\): tamanho da amostra. - \(t_{\alpha/2, n-1}\): valor crÃtico da distribuição \(t\)-Student com \(n-1\) graus de liberdade. - \(1-\alpha\): nÃvel de confiança.
Vamos calcular o intervalo de confiança para os seguintes dados:
A homocedasticidade demanda que as variações em torno da linha de regressão sejam constantes para todos os valores de X. Isto expressa que Y varia na mesma proporção, quando X for um valor baixo e quando X for um valor elevado. O contrário desse fenômeno é conhecido por heterocedasticidade, ou seja, a variância não será constante para os valores X e Y.
Homocedasticidade
A variância dos erros é constante para todos os valores das variáveis independentes. É uma suposição fundamental em muitos modelos estatÃsticos, como a regressão linear clássica. Visualmente, ao plotar os resÃduos contra os valores preditos, eles aparecem distribuÃdos de maneira uniforme, sem padrão aparente.
Heterocedasticidade
A variância dos erros muda dependendo do valor das variáveis independentes. Ou seja, os erros não têm uma dispersão uniforme. Indica problemas no modelo que podem afetar as inferências estatÃsticas, como p-valores e intervalos de confiança. Visualmente, ao plotar os resÃduos contra os valores preditos, você verá um padrão, como um funil (a variância aumenta ou diminui sistematicamente).
Neste relatório, demonstramos a distribuição da quantidade pivotal de forma analÃtica e gráfica. Consideramos uma variável aleatória \(X\) com distribuição normal \(N(\mu, \sigma^2)\), para a qual a quantidade pivotal é dada por:
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \]
onde \(Z\) segue uma distribuição normal padrão \(N(0, 1)\).
Problema proposto
Para avaliar a qualidade dos rolamentos produzidos,um engenheiro recolheu uma amostras aleatória de 12 esferas da produção diária.Usando um paquÃmetro ele obteve as seguintes medições 8,2 - 8,3 - 8,4 - 8,2 - 8,2 8,4 - 8,3 - 8,2 - 8,4 - 8,4 - 8,2 - 8,4 para as esferas. Calcule o intervalo de confiança para a média das esferas produzidas com 95% de confiança.
Medições da amostra:
\[
\{8.2, 8.3, 8.4, 8.2, 8.2, 8.4, 8.3, 8.2, 8.4, 8.4, 8.2, 8.4\}
\]
Tamanho da amostra (\(n\)): 12
NÃvel de confiança: \(95\%\)
A fórmula da média é: \[ \bar{x} = \frac{\text{soma dos dados}}{n} \] Substituindo os valores: \[ \bar{x} = \frac{8.2 + 8.3 + 8.4 + 8.2 + 8.2 + 8.4 + 8.3 + 8.2 + 8.4 + 8.4 + 8.2 + 8.4}{12} \] \[ \bar{x} = \frac{99.6}{12} = 8.3 \]
A fórmula do desvio padrão amostral é: \[ s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \]
Diferenças dos quadrados
Para cada dado (\(x_i\)), calculamos \((x_i - \bar{x})^2\):
\[
\begin{aligned}
(8.2 - 8.3)^2 & = 0.01, \\
(8.3 - 8.3)^2 & = 0.00, \\
(8.4 - 8.3)^2 & = 0.01, \\
(8.2 - 8.3)^2 & = 0.01, \\
(8.2 - 8.3)^2 & = 0.01, \\
(8.4 - 8.3)^2 & = 0.01, \\
(8.3 - 8.3)^2 & = 0.00, \\
(8.2 - 8.3)^2 & = 0.01, \\
(8.4 - 8.3)^2 & = 0.01, \\
(8.4 - 8.3)^2 & = 0.01, \\
(8.2 - 8.3)^2 & = 0.01, \\
(8.4 - 8.3)^2 & = 0.01.
\end{aligned}
\]
Soma das diferenças dos quadrados
\[ \sum (x_i - \bar{x})^2 = 0.01 + 0.00 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.00 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 = 0.1 \]
Substituindo os valores encontrados temos: \[ s = \sqrt{\frac{0.1}{12-1}} = \sqrt{\frac{0.1}{11}} \approx \sqrt{0.00909} \approx 0.08165 \]
Para um nÃvel de confiança de \(95\%\) e \(n-1 = 11\) graus de liberdade, o valor crÃtico \(t^*\) obtido da tabela \(t\)-Student é: \[ t^* \approx 2.201 \]
A fórmula do intervalo de confiança é: \[ IC = \bar{x} \pm t^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \] Erro Padrão \[ \text{Erro Padrão} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.08165}{\sqrt{12}} \approx \frac{0.08165}{3.4641} \approx 0.02356 \]
Margem de Erro \[ \text{Margem de Erro} = t^* \cdot \text{Erro Padrão} = 2.201 \cdot 0.02356 \approx 0.0519 \]
Intervalo de Confiança \[ IC = 8.3 \pm 0.0519 \] \[ IC = (8.3 - 0.0519, 8.3 + 0.0519) \] \[ IC = (8.2481, 8.3519) \]
O intervalo de confiança para a média das esferas produzidas, com \(95\%\) de confiança, é: \[ (8.248, 8.352) \]
